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La Martin

Maths

Exercices supplémentaires

Exercices de colle résolus par des élèves

Voici des compte-rendus d'élèves scannés et corrigés. Tous les énoncés ont été posés en colle.

Certains énoncés peuvent utiliser des notions de chapitres ultérieurs. C'est en général sous-entendu dans le titre.

Pour plus de clarté, les énoncés sont repris en dessous de chaque lien. Si l'affichage mathématique ne se fait pas, vous aurez juste à ouvrir les pdf pour reprendre les questions posés.

Vous pouvez cliquer sur les formules pour les agrandir.

Trigonométrie

• Calcul de $\tan(\pi/24)$

  Calculer $\displaystyle \frac{\sin(\pi/3) - \sin(\pi/4)}{\cos(\pi/3) + \cos(\pi/4)}$.
  En déduire $\tan(\pi/24)$.

Généralités sur les fonctions

• Réciproque de $x \mapsto \exp(\ln^2(x))$

  Soit $f : x \mapsto e^{\ln^2(x)}$. Montrer que $f$ est bijective de $[1,+\infty[$ dans $[1,+\infty[$.
  Déterminer explicitement sa réciproque.

• Résolution d'une équation trigo à l'aide de la bijectivité

  On cherche à résoudre l'équation $\cos(t)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$. Démontrer qu'il existe une unique solution dans l'intervalle $[0,\frac{\pi}{4}]$. On la notera $t_0$.
  Calculer $\cos(2t_0)$ puis démontrer que $\cos(4t_0) = -\cos(t_0)$.
  En déduire $t_0$ puis les solutions de l'équation.

• Une formule intégrale

  Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ deux fois dérivable avec $f''$ continue. Montrer la formule $\frac{b-a}{2} \big(f(a)+f(b)\big) + \frac{1}{2} \int_a^b f''(t) (a-t)(b-t) dt = \int_a^b f(t) dt $.

Sommes

• Calcul d'une somme

  Calculer $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$

• Monotonie d'une suite définie par une somme

  Etudier la monotonie de la suite de terme général $\displaystyle u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n}$

• Calcul d'une somme double triangulaire

  Calculer $\sum_{1 \leqslant i\leqslant j \leqslant n} (i+j)$

Nombres complexes

• Conditions pour qu'un puissance soit réelle, imaginaire pure

  Soit $z = (\sqrt{3}+i)^n$. Déterminer une CNS sur $n$ pour avoir $z \in \mathbb{R}$. Idem pour avoir $z \in i \mathbb{R}$

• Une propriété des complexes de module 1

  Soient $(z,z') \in \mathbb{U}^2$ vérifiant $zz' \neq -1$. Montrer que $\displaystyle \frac{z+z'}{1+zz'} \in \mathbb{R}$.

• Une somme de modules

  Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On note $\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} |\omega_k -1|$.

• Un calcul de dérivée $n$-ème grâce aux complexes...

  Déterminer les dérivée $n$-èmes de $f:x \mapsto e^x \cos(x)$.
  (on pourra voir $f$ comme la partie réelle d'une fonction à valeurs complexes).

• Une somme complexe

  Calculer $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(k x)$

• Produit des racines $n$-èmes de l'unité

  Calculer le produit des racines $n$-èmes de l'unité.

• Une question de géométrie par les complexes

  Soient $A,B,C,D$ quatre points du plan orienté. On construit les triangles rectangles isocèles $APB$, $CQB$, $CRD$ et $ASB$ tels que :

  $$ (\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PA} ) = \frac{\pi}{2} \ ;\ (\overrightarrow{QB},\overrightarrow{QC} ) = \frac{\pi}{2} \ ;\ (\overrightarrow{RD},\overrightarrow{RC} ) = \frac{\pi}{2} \ ;\ (\overrightarrow{SD},\overrightarrow{SA} ) = \frac{\pi}{2}$$ Montrer que $PQRS$ est un parallélogramme.

  Indication. Montrer que les diagonales ont même milieu

Equations différentielles

• Une EDL1 complète (rédaction très précise, à imiter)

  Résoudre $(E) : ty'-2y = t^2 \ln(1+t^2)$.

• Une EDL2 complète

  Résoudre $(E) : y''+2y'+y=e^{-x} $.

• Une EDL1 avec fonctions hyperboliques

  Résoudre $(E) : \quad y'-\frac{\sinh(x)}{1+\cosh(x)} y=\sinh(x)$.

Fonctions usuelles

• Une équation exponentielle

  Résoudre $(E) : 2^{2x}-3^{x-\frac{1}{2}} = 3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2x-1}$.

Récurrences, arithmétique

• Une récurrence double

  Soit $x\in \mathbb{R}$ et $u$ la suite définie par $u_0 = 2$, $u_1=2\cos(x)$ et $$\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2} = 2\cos(x)u_{n+1} - u_n$$

  Montrer que $\forall \in \mathbb{N}, u_n = 2 \cos(nx)$

• De la divisibilité

  Montrer que si $p \geqslant 5$ est un nombre premier alors $p^2-1$ est divisible par 12.

Suites

• Etude de deux suites "couplées"

  On considère les suites $u$ et $v$ définies par $u_0=1$, $v_0=2$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $$\begin{cases} u_{n+1}=3u_n+2v_n \\ v_{n+1}=2u_n+3v_n \end{cases}$$ Montrer que la suite $(u-v)$ est constante. En déduire que $u$ est arithmético-géométrique. Déterminer les termes généraux de $u$ et $v$.

• Equivalent d'une somme d'exponentielles

  On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n = \sum_{k=0}^n e^{k^2}$.

  Montrer que $u_n \sim e^{n^2}$.
  (on pourra établir l'inégalité $k^2-n^2 \leqslant -n$)

Applications

• Différence symétrique

  On définit, pour toutes parties $A$ et $B$ d'un ensemble $E$ leur différence symétrique : $$ A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$

  Montrer que $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$
  Représenter graphiquement $A \Delta B$.
  Vérifier graphiquement que $(A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C)$.

• Image directe d'une image réciproque

  Soit $f: E \to E'$ une application et $A' \subset E'$ Montrer que $f(f^{-1}(A')) = A' \cap f(E)$.

• Jeu avec injectivité et surjectivité

  On considère trois applications $f : A \to B$, $g : B \to C$ et $h : C \to D$.

  Montrer les implications suivantes :

  1. $ g \circ f \text{ injective } \implies f \text{ injective}$
  2. $ g \circ f \text{ surjective }\implies g \text{ surjective}$
  3. $( g \circ f \text{ et } h\circ g \text{ bijectives}) \implies f,g,h \text{ bijectives}$
• Bijectivité de $f \circ g \circ f$

  Soit $f: E \to F$ et $g: F \to E$ deux applications.
  On suppose $f \circ g \circ f$ bijective. Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.

Matrices

• Calcul des puissances d'une matrice à l'aide d'une division euclidienne.

  Soit $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3& 4 \end{pmatrix}$.
  Exprimer $A^2$ comme combinaison linéaire de $A$ et $I_2$. En déduire que $A$ est inversible.
  Soit $n \in \mathbb{N}$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$. En déduire l'expression de $A^n$.

• Calcul des puissances d'une matrice par conjecture.

  Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1& 1 \end{pmatrix}$.
  Calculer $A^2$ et $A^3$.
  Soit $n \in \mathbb{N}$. Déterminer une conjecture pour l'expression de $A^n$ puis la démontrer.

• Calcul d'un inverse de matrice à l'aide d'une identité remarquable.

  Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \\ -1 & -1 & -2 \\ \end{pmatrix}$.
  Montrer que $(A-I)^2 = 0$.
  En déduire que $A$ est inversible et déterminer son inverse.

Continuité sur un intervalle

• Le problème du randonneur version élève (nécessite de bien modéliser le problème).

  Un élève sortant de colle et souhaitant arriver à l'heure à la cantine parcourt 600 mètres en 5 minutes. Montrer qu'il existe un intervalle d'une minute durant lequel il parcourt exactement 120 mètres.

Dérivabilité

• Un prolongement du théorème des accroissements finis

  Soit $f$ et $g$ deux fonctions vérifiant les hypothèses du théorème des accroissements finis sur $[a,b]$. On suppose que $g(a)\neq g(b)$. Montrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

• Expression d'une fonction paire à l'aide de la fonction carrée (exercice assez délicat, jolie analyse-synthèse)

  Soit $f$ une fonction $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$. Montrer qu'il existe une unique fonction $g$ $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ telle que $\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(x^2)$.

Espaces vectoriels et applications linéaires

• Etude d'une application linéaire explicite de $\mathbb{R}^3$ (exercice type, rédaction agréable).

  Soit $f : \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \to & \mathbb{R}^3 \\ (x,y,z) & \mapsto & (z-y,-x+z,-2x-2y-z) \end{array}$.
  Montrer que $f$ est un endomorphisme. Etudier son injectivité. Déterminer $\mathrm{Im}(f)$.

• Un espace vectoriel de fonctions (mélange des objets bien géré).

  Montrer que $F=\{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid \exists k\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}, |f(x)|\leqslant k |x| \}$ est un espace vectoriel.

• Deux sous-espaces de fonctions supplémentaires (raisonnement à bien structurer)

  Montrer que $F=\{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} | f(0)+f(1)=0\}$ et $G$ l'ensemble des fonctions constantes sur $\mathbb{R}$ sont des sous-espaces supplémentaires de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

• Projecteurs qui commutent et de même noyau.

  Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$ tels que $p \circ q = q\circ p$ et $\ker(p) = \ker(q)$.
  Montrer que $p=q$.

Dimension finie

• Recherche d'un supplémentaire d'un espace de polynômes

  Montrer que $E={P\in \mathbb{R}_4[X], P(0)=P'(1)=0}$ est un sous-espace de $\mathbb{R}_4[X]$, préciser sa dimension et en déterminer un supplémentaire.

• Somme d'images et de noyaux.

  Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace $E$. On suppose que $E=Im(f)+Im(g)=Ker(f)+Ker(g)$. Montrer que ces deux sommes sont directes.

• Une application linéaires sur les polynômes.

  Soit $\phi : \begin{array}{ccc} \mathbb{K}_{n+1}[X] & to & \mathbb{K}_{n}[X] \ P & \mapsto & P(X+1)-P(X) \end{array}$.
  Montrer que $\phi$ est bien définie, linéaire. Déterminer son noyau et montrer qu'elle est surjective.

• Etude de l'existence d'une application linéaire à noyau fixé.

  Montrer que $H={(x,y,z,t), x=y=z=t }$ est un sous-espace de $E=\mathbb{R}^4$. On note $F=\mathbb{R}^2$. Existe-t-il une application linéaire $f : E \to F$ dont le noyau soit $H$ ?

• Une famille libre de fonctions (avec intervention des développements limités)

  Montrer que la famille de fonctions (sh, ch, sin) est libre.

Polynômes

• Un polynôme à racines simples.

  Montrer que toutes les racines de $P=\sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$ sont distinctes.

• Factorisation complexe puis réelle, calcul de cosinus

  Factoriser $P=1+X+X^2+X^3+X^4$ dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X]$.
  En déduire des expressions par radicaux de $\alpha=\cos(2\pi/5)$ et $\beta=\cos(4\pi/5)$ (on pourra déterminer un système somme-produit dont ils sont solutions).

• Egalité de polynômes obtenue par récurrence.

  Montrer par récurrence sur $n\in \mathbb{N}$ l'égalité $$ 1-\frac{X}{1!}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{X(X-1)\cdots(X-n)}{(n+1)!}$$ $$= (-1)^{n+1} \frac{(X-1)\cdots (X-(n+1))}{(n+1)!} $$

• Calcul de reste de division euclidienne (intervention d'une racine triple).

  Déterminer le reste de la division euclidienne de $P=X^8-32X^2+48$ par $B=(X-\sqrt{2})^3$.

• Recherche des racines doubles puis factorisation

  Soit $P=36X^4+12X^3-11X^2-2X+1$. Effectuer la division euclidienne de $P$ par $P'$.
  Montrer que si $a$ est racine double de $P$ alors $a$ est racine double du reste.
  En déduire la factorisation de $P$ dans $\mathbb{R}[X]$

• Une factorisation et un polynôme à racines simples (une application de la méthode du bicarré et un raisonnement à partir de la caractérisation des racines doubles).

  Exercice 1 : décomposer sur $\mathbb{R}[X]$ le polynôme $X^8+X^4+1$.
  Exercice 2 : démontrer que le polynôme $P=\sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$ n'a que des racines simples dans $\mathbb{C}$.

• CNS pour qu'un polynôme ait une racine double (une solution originale)

  Soit $P=X^3-X^2+\lambda$. Déterminer $\lambda\in \mathbb{C}$ pour que $P$ admette une racine double.

• Une équation d'inconnue polynomiale

  Trouver tous les polynômes $P\in \mathbb{R}[X]$ tels que $P(X^2)=(X^2+1)\cdot P(X)$.

• Recherche d'une CNS de divisibilité

  Enoncer une condition nécessaire et suffisante sur $n\in \mathbb{N}^*$ pour que $X^2+X+1$ divise $X^{2n}+X^n+1$.

• Calcul d'un reste de division euclidienne

  soit $t\in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}^*$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $A=\big(X \cos(t)+\sin(t)\big)^n$ par $B=X^2+1$

• Sous-espaces des polynômes multiples de $X-a$ (un mélange algèbre linéaire/polynômes).

  Soit $E_a$ l'ensemble des polynômes $P\in \mathbb{R}[X]$ multiples de $X-a$.

  1. Montrer que $E_a$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$.
  2. Soient deux réels $a\neq b$. Montrer qu'il existe $(c,d)\in \mathbb{R}^2$ tels que $c(x-a)+d(X-b)=1$.
  3. En déduire que $\mathbb{R}[X]=E_a+E_b$.

Probabilités finies

• Minoration de la probabilité d'une intersection (probabilités abstraites, assez technique)

  Soient $A_1, \dots, A_n$ des événements d'un espace probabilisé fini. Montrer par récurrence que $$P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right) \geqslant \left(\sum_{i=1}^n P(A_i)\right) - (n-1)$$

• Tirage dans des urnes

  On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$. L'urne $U_1$ contient 2 boules blanches et 3 boules rouges. L'urne $U_2$ contient 4 boules blanches et 3 boules rouges.
  On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes : on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l'urne choisie. On note sa couleur et on la remet dans l'urne d'où elle provient. Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l'urne $U_1$, sinon dans l'urne $U_2$.
  Pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, on note $B_n$ l'événement "la boule tirée au $n$-ème tirage est blanche" et $p_n = P(B_n)$ .

  1. Calculer $p_1$
  2. Prouver que $\forall n \in \mathbb{N}^*, p_{n+1} = -\frac{6}{35}p_n + \frac{4}{7}$
  3. En déduire l'expression de $p_n$.